RSA算法原理与数据模型

首先, 找出三个数, p, q, r, 
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数...... 
p, q, r 这三个数便是 private key 
 
接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)..... 
这个 m 一定存在, 因为 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了..... 
再来, 计算 n = pq....... 
m, n 这两个数便是 public key 
 
编码过程是, 若资料为 a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n.... 
如果 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 通常取 s = 2^t), 
则每一位数均小於 n, 然後分段编码...... 
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n), 
b 就是编码後的资料...... 
 
解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq), 
於是乎, 解码完毕...... 等会会证明 c 和 a 其实是相等的  :) 
 
如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b...... 
他如果要解码的话, 必须想办法得到 r...... 
所以, 他必须先对 n 作质因数分解......... 
要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数 p, q, 
使第三者作因数分解时发生困难......... 
 
 
<定理> 
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1), 
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq, 
则 c == a mod pq 
 
证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下: 
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m 
(换另一句话说, 如果 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m) 
运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........ 
 
<证明> 
因为 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数 
因为在 modulo 中是 preserve 乘法的 
(x == y mod z  and  u == v mod z  =>  xu == yv mod z), 
所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq 
 
1. 如果 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时, 
   则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理)  =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p 
      a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)  =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 
   所以 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1  =>  pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1 
   即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq 
 
2. 如果 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时, 
   则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) 
   =>  a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q 
   =>  q | c - a 
   因 p | a 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p 
   =>  p | c - a 
   所以, pq | c - a  =>  c == a mod pq 
 
3. 如果 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证明同上 
 
4. 如果 a 同时是 p 和 q 的倍数时, 
   则 pq | a 
   =>  c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq 
   =>  pq | c - a 
   =>  c == a mod pq 
                                        Q.E.D. 
 
 
这个定理说明 a 经过编码为 b 再经过解码为 c 时, a == c mod n  (n = pq).... 
但我们在做编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n, 
所以这就是说 a 等於 c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能..... 

二、RSA 的安全性

RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解 RSA就一定需要作大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它肯定可以修改成为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证明等价于大数分解。不管怎样，分解n是最显然的攻击方法。现在，人们已能分解多个十进制位的大素数。因此，模数n 必须选大一些，因具体适用情况而定。

三、RSA的速度

由于进行的都是大数计算，使得RSA最快的情况也比DES慢上倍，无论是软件还是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。一般来说只用于少量数据加密。

四、RSA的选择密文攻击

RSA在选择密文攻击面前很脆弱。一般攻击者是将某一信息作一下伪装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。然后，经过计算就可得到它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

  前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每个人都能使用公钥。但从算法上无法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公 钥协议，保证工作过程中实体不对其他实体任意产生的信息解密，不对自己一无所知的信息签名；另一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用 One-Way HashFunction 对文档作HASH处理，或同时使用不同的签名算法。在中提到了几种不同类型的攻击方法。